以下是三角函数公式的个人归纳，请查收~
诱导公式
(1)
sinx=sin(x+2kπ)
cosx=cos(x+2kπ)
tanx=tan(x+2kπ)
k∈Z
原理：终边相同的角同一三角函数值相同（或可用三角函数图像的周期性验证）
(2)
sin(-x)=-sinx
cos(-x)=cosx
tan(-x)=-tanx
(3)
sin(π+x)=-sinx
cos(π+x)=-cosx
tan(π+x)=tanx
(4)
sin(π-x)=sinx
cos(π-x)=-cosx
tan(π-x)=-tanx
原理：三角函数值中，正弦一二象限为正，余弦一四象限为正，正切一三象限为正（终边）
(5)
sin(π/2+x)=cosx
cos(π/2+x)=-sinx
tan(π/2+x)=-cotx
(6)
sin(π/2-x)=cosx
cos(π/2-x)=sinx
tan(π/2-x)=cotx
(7)展开公式
sin(3π/2+x)=sin(π+π/2+x)=-sin(π/2+x)=-cosx
cos(3π/2+x)=cos(π+π/2+x)=-cos(π/2+x)=sinx
tan(3π/2+x)=-cotx
sin(3π/2-x)=sin(π+π/2-x)=-sin(π/2-x)=-cosx
cos(3π/2-x)=cos(π+π/2-x)=-cos(π/2-x)=-sinx
tan(3π/2-x)=cotx
两角公式
(1)两角和差公式
sin(x+y)=sinxcosy+sinycosx
sin(x-y)=sinxcosy-sinycosx
cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny
cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny
tan(x+y)=sin(x+y)/cos(x+y)=sinxcosy+sinycosx/cosxcosy-sinxsiny=tanx+tany/1-tanxtany
tan(x-y)=sin(x-y)/cos(x-y)=sinxcosy-sinycosx/cosxcosy+sinxsiny=tanx-tany/1+tanxtany
证明：单位圆作图
(2)二倍角公式
sin2x=2sinxcosx
推导：sin2x=sin(x+x)=sinxcosx+cosxsinx=2sinxcosx
cos2x=(cosx)²-(sinx)²=2cos²x-1=1-2sin²x (sin²x+cos²x=1)
推导：cos2x=cos(x+x)=cosxcosx-sinxsinx=cos²x-sin²x
tan2x=sin2x/cos2x=2sinxcosx/cos²x-sin²x=2tanx/1-tan²x
*三倍角公式
sin3x=sin(2x+x)=sin2xcosx+cos2xsinx=2sinx(1-sin²x)+(1-2sin²x)sinx=3sinx-4sin³x
cos3x=cos(2x+x)=cos2xcosx-sinxsin2x=(2cos²x-1)cosx-2cosx(1-cos²x)=4cos³x-3cosx
tan3x=sin3x/cos3x=tanxtan(π/3+x)tan(π/3-x)
(3)半角公式
sin²(x/2)=(1-cosx)/2
cos²(x/2)=(1+cosx)/2
tan²(x/2)=1-cosx/1+cosx
推导：cosx=2cos²(x/2)-1=1-2sin²(x/2)
(4)辅助角公式
asinx+bcosx=√(a²+b²)[asinx/√(a²+b²)+bcosx/√(a²+b²)]
原理：配凑为sin²m+cos²m的形式，值域为[-√(a²+b²),√(a²+b²)]
(5)两角推诱导例
sin(π+x)=sinπcosx+sinxcosπ=-sinx
cos(π+x)=cosπcosx-sinπsinx=-cosx
sin(π-x)=sinπcosx-sinxcosπ=sinx
cos(π-x)=cosπcosx+sinπsinx=-cosx
与二次函数的那些事儿
(1)变量法
e.g.求f(x)=sinx+cos2x的值域
解：由题
f(x)=sinx+1-2sin²x……将sinx看做熟悉的变量
f(x)=-2(sin²x-1/2sinx+1/16-1/16)+1
=-2(sinx-1/4)²+9/8……化为熟悉的顶点式
∵sinx∈[-1,1]……注意定义域（尤其是题目如果给出角范围）
∴当sinx=1/4时，有f(x)最大值9/8；当sinx=-1时，有f(x)最小值-2
∴f(x)值域为[-2,9/8]
(2)换元法
e.g.求f(x)=sinx+cosx+sinxcosx的值域
解：由题,令t=sinx+cosx=√2sin(x+π/4) t∈[-√2,√2]
f(x)=t+sinxcosx
∵t²=1+2sinxcosx
∴sinxcosx=(t²-1)/2
即f(x)=t+t²/2-1/2……换元，注意定义域
接下来由二次函数解即可
(3)公式法
对于复合函数或不等式而言，需要注意其单调性与奇偶性，综合运用公式、定理与方程思想
作者：无烬之霜 https://www.bilibili.com/read/cv9095774 出处：bilibili
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