三角函数所有公式大全 三角函数必背公式

以下是三角函数公式的个人归纳,请查收~

诱导公式

(1)

sinx=sin(x+2kπ)

cosx=cos(x+2kπ)

tanx=tan(x+2kπ)

k∈Z

原理:终边相同的角同一三角函数值相同(或可用三角函数图像的周期性验证)

 

(2)

sin(-x)=-sinx

cos(-x)=cosx

tan(-x)=-tanx

 

(3)

sin(π+x)=-sinx

cos(π+x)=-cosx

tan(π+x)=tanx

 

(4)

sin(π-x)=sinx

cos(π-x)=-cosx

tan(π-x)=-tanx

原理:三角函数值中,正弦一二象限为正,余弦一四象限为正,正切一三象限为正(终边)

(5)

sin(π/2+x)=cosx

cos(π/2+x)=-sinx

tan(π/2+x)=-cotx

 

(6)

sin(π/2-x)=cosx

cos(π/2-x)=sinx

tan(π/2-x)=cotx

 

(7)展开公式

sin(3π/2+x)=sin(π+π/2+x)=-sin(π/2+x)=-cosx

cos(3π/2+x)=cos(π+π/2+x)=-cos(π/2+x)=sinx

tan(3π/2+x)=-cotx

sin(3π/2-x)=sin(π+π/2-x)=-sin(π/2-x)=-cosx

cos(3π/2-x)=cos(π+π/2-x)=-cos(π/2-x)=-sinx

tan(3π/2-x)=cotx

 

两角公式

(1)两角和差公式

sin(x+y)=sinxcosy+sinycosx

sin(x-y)=sinxcosy-sinycosx

cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny

cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny

tan(x+y)=sin(x+y)/cos(x+y)=sinxcosy+sinycosx/cosxcosy-sinxsiny=tanx+tany/1-tanxtany

tan(x-y)=sin(x-y)/cos(x-y)=sinxcosy-sinycosx/cosxcosy+sinxsiny=tanx-tany/1+tanxtany

证明:单位圆作图

 

(2)二倍角公式

sin2x=2sinxcosx

推导:sin2x=sin(x+x)=sinxcosx+cosxsinx=2sinxcosx

cos2x=(cosx)²-(sinx)²=2cos²x-1=1-2sin²x (sin²x+cos²x=1)

推导:cos2x=cos(x+x)=cosxcosx-sinxsinx=cos²x-sin²x

tan2x=sin2x/cos2x=2sinxcosx/cos²x-sin²x=2tanx/1-tan²x

*三倍角公式

sin3x=sin(2x+x)=sin2xcosx+cos2xsinx=2sinx(1-sin²x)+(1-2sin²x)sinx=3sinx-4sin³x

cos3x=cos(2x+x)=cos2xcosx-sinxsin2x=(2cos²x-1)cosx-2cosx(1-cos²x)=4cos³x-3cosx

tan3x=sin3x/cos3x=tanxtan(π/3+x)tan(π/3-x)

 

(3)半角公式

sin²(x/2)=(1-cosx)/2

cos²(x/2)=(1+cosx)/2

tan²(x/2)=1-cosx/1+cosx

推导:cosx=2cos²(x/2)-1=1-2sin²(x/2)

 

(4)辅助角公式

asinx+bcosx=√(a²+b²)[asinx/√(a²+b²)+bcosx/√(a²+b²)]

原理:配凑为sin²m+cos²m的形式,值域为[-√(a²+b²),√(a²+b²)]

 

(5)两角推诱导例

sin(π+x)=sinπcosx+sinxcosπ=-sinx

cos(π+x)=cosπcosx-sinπsinx=-cosx

sin(π-x)=sinπcosx-sinxcosπ=sinx

cos(π-x)=cosπcosx+sinπsinx=-cosx

 

与二次函数的那些事儿

(1)变量法

e.g.求f(x)=sinx+cos2x的值域

解:由题

f(x)=sinx+1-2sin²x……将sinx看做熟悉的变量

f(x)=-2(sin²x-1/2sinx+1/16-1/16)+1

=-2(sinx-1/4)²+9/8……化为熟悉的顶点式

∵sinx∈[-1,1]……注意定义域(尤其是题目如果给出角范围)

∴当sinx=1/4时,有f(x)最大值9/8;当sinx=-1时,有f(x)最小值-2

∴f(x)值域为[-2,9/8]

(2)换元法

e.g.求f(x)=sinx+cosx+sinxcosx的值域

解:由题,令t=sinx+cosx=√2sin(x+π/4) t∈[-√2,√2]

f(x)=t+sinxcosx

∵t²=1+2sinxcosx

∴sinxcosx=(t²-1)/2

即f(x)=t+t²/2-1/2……换元,注意定义域

接下来由二次函数解即可

(3)公式法

对于复合函数或不等式而言,需要注意其单调性与奇偶性,综合运用公式、定理与方程思想

 

作者:无烬之霜 https://www.bilibili.com/read/cv9095774 出处:bilibili

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