柯西不等式高中公式 柯西不等式6个常考基本题型

柯西不等式一般出现在数学试卷的压轴题中,相信是很多同学的难点,本文将介绍柯西不等式在高中数学的用法,包括柯西不等式常见公式、柯西不等式高中例题。

柯西不等式高中公式 柯西不等式6个常考基本题型

一、柯西不等式高中公式

定理 1:二维柯西不等式的代数形式

设 a, b, c, d 均为实数

(a²+b²)( c²+d²) ≥ (ac+bd)² ,其中当且仅当 ad = bc时,等号才成立。

定理 2:柯西不等式的向量形式

设 α,β为平面上的两个向量,则

|α|·|β|≥|α·β|,其中当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时,等号成立。

也就是β是零向量,或存在实数 k,使α=kβ时,等号才成立。

定理 3:三角不等式

设 x₁, y₁, x₂, y₂, x₃, y₃ 为任意实数

则:[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²]½+[(x₂-x₃)²+(y₂-y₃)²]½≥[(x₁-x₃)²+(y₁-y₃)²]½。

当且仅当 P1(x₁, y₁),P2(x₂, y₂),0(0, 0)三点共线且 P1, P2 在点 O 两旁时,等号成立。

柯西不等式高中公式是(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2,柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

二维形式:(a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2。

三角形式:√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]。

向量形式:α的绝对值×β的绝对值≥|α·β的绝对值,|α||β|≥|α·β|,α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn)(n∈N,n≥2)。等号成立条件:β为零向量,或α=λβ(λ∈R)。

一般地,用纯粹的大于号“>”、小于号“<”连接的不等式称为严格不等式,用不小于号(大于或等于号)“≥”、不大于号(小于或等于号)“≤”连接的不等式称为非严格不等式,或称广义不等式。

 

 

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