三角函数公式大全表格

5wxw • 2022年10月22日下午9:05 • 数学公式

三角函数公式汇总+记忆（没有比这更全）

温馨提示：内容较长，需耐心观看

目录一、定义式二、函数公式 a.倒数关系 b.商数关系 c.平方关系三、诱导公式四、基本公式 a.两角和差公式 b.三角和公式 c.积化和差公式 d.和差化积公式 e.倍角公式 f.半角公式 g.万能公式 h.辅助角公式五、反三角函数

三角函数公式包括和差角公式、和差化积公式、积化和差公式、倍角公式、诱导公式等。

本文重点：巧记和差化积、积化和差公式 （很多小伙伴记了就忘，忘了又记）

01 定义式

三角函数公式是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数公式。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射，通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。

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02 函数公式

倒数关系:

商数关系：

平方关系：

03 诱导公式

1.公式1：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等

$s i n (2 k π + α) = s i n α (k \in Z)$

$c o s (2 k π + α) = c o s α (k \in Z)$

$t a n (2 k π + α) = t a n α (k \in Z)$

$c o t (2 k π + α) = c o t α (k \in Z)$

2.公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系

sin(π+α) ＝－sinα

cos(π+α)＝－cosα

tan(π+α)＝ tanα

cot(π+α)＝cotα

3.公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系

sin(－α)=－sinα

cos(－α)=cosα

tan(－α)=－tanα

cot(－α)=－cotα

4. 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系

sin(π－α)=sinα

cos(π－α)=－cosα

tan(π－α)=－tanα

cot(π－α)=－cotα

5、公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系

sin(2π－α)=－sinα

cos(2π－α)=cosα

tan(2π－α)=－tanα

cot(2π－α)=－cotα

6、公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系

sin(π/2+α)=cosα

sin(π/2－α)=cosα

cos(π/2+α)=－sinα

cos(π/2－α)=sinα

tan(π/2+α)=－cotα

tan(π/2－α)=cotα

cot(π/2+α)=－tanα

cot(π/2－α)=tanα

记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限，即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。

04 基本公式：

4.1. 二角和差公式

口诀（正余弦两角和差公式）：

赛壳壳赛符号同，壳壳赛赛符号异。

1）正弦和差前后同号，余弦和差前后异号

2）正弦和差公式始终是sin与cos相乘; 余弦和差公式始终是cos与cos相乘，sin与sin相乘

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

再说一下tan和差公式的记忆。

由下图可以看到，tan和差公式的右边分式，分子与分母符号是不同的，而左边与分子符号又是相同的。这样我们就能通过左边确定等式右边的符号。

再记住上加下乘，就能把tan的每一项记住了。

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4.2三角和公式

注意！注意！注意！

人间大炮一级准备!!！

4.3 积化和差公式：

$\sin α \cos β = \frac{\sin (α + β) + \sin (α - β)}{2} \cos α \sin β = \frac{\sin (α + β) - \sin (α - β)}{2} \cos α \cos β = \frac{\cos (α + β) + \cos (α - β)}{2} \sin α \sin β = - \frac{\cos (α + β) - \cos (α - β)}{2}$

4.3.1 口诀法：

正余余正，正加正减；

余余正正，余加负余减。

d. 和差化积公式：

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正加正，正在前；

正减正，余在前；

余加余，余并肩；

余减余，负正弦。

“两个口诀互逆，但推荐分别记忆，这样用起来会非常快！！

敲黑板，下面重点。

人间大炮二级准备!!!

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前后项数统一：

积是一项，化和差后要 $\div 2$ ；
和差是两项，化积后要成 $\times 2$ 。

内外项数统一：

括号内变量都是先 $α + β$ ，再 $α - β$ 。
化和差后是两项， $α \pm β$ 两项不变；
化积后是一项， $α \pm β$ 要 $\div 2$ 变一项。

4.3.2 帅哥记忆法：

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积化和差只需反过来说，即：

帅哥=帅+帅
哥帅=帅-帅
哥哥=哥+哥
负嫂嫂=哥-哥

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本人更喜欢第一种方法，直接记忆好记并且快。

4.4. 倍角公式：

◆ 二倍角公式

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推论：升幂缩角公式

降幂扩角公式

运用二倍角公式就是升幂，将公式Cos2α变形后可得到降幂公式。

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◆ 三倍角公式

◆ 四倍角公式

$s i n 4 a = - 4 * [c o s a * s i n a * (2 * s i n a^{2} - 1)]$

$c o s 4 a = 1 + (- 8 * c o s a^{2} + 8 * c o s a^{4})$

$t a n 4 a = (4 * t a n a - 4 * t a n a^{3}) / (1 - 6 * t a n a^{2} + t a n a^{4})$

◆ 五倍角公式

◆ 半角公式

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（正负由 $α / 2$ 所在的象限决定）

4.5.万能公式

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4.6辅助角公式

4.7. 余弦定理

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4.8. 三角函数公式算面积

定理：

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在△ABC中，其面积就应该是底边对应的高的1/2，不妨设AD边对应的高是BC，那么△ABC的面积就是BC*AD*1/2。而AD是垂直于BC的，这样△ADC就是直角三角形了，由此可以得出， $A D =$ $A C s i n C$ ，将这个式子带回三角形的计算公式中就可以得到：S△ABC= $1 / 2 a b s i n C = 1 / 2 b c s i n A = 1 / 2 a c s i n B$

同理，即可得出三角形的面积等于两邻边及其夹角正弦值的乘积的一半。

◆ 公式：

若△ABC中角A，B，C所对的三边是a,b,c：

则S△ABC= $1 / 2 a b s i n C = 1 / 2 b c s i n A = 1 / 2 a c s i n B$

4.9. 反三角函数

在数学中，反三角函数(偶尔也称为弧函数，反严密函数或圈度量函数)是三角函数的反函数(具有适当限制的域)。具体而言，它们是正弦、余弦、正切、余切、正割和余割的逆函数，并用于从任何角度的三角比获得角度。

反三角函数主要是三个：

$y ＝ a r c s i n (x)$ ，定义域[-1,1] ，值域[-π/2,π/2]

$y = a r c c o s (x)$ ，定义域[-1,1] ，值域[0,π]

$y = a r c t a n (x)$ ，定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)

$s i n a r c s i n (x) = x,$ 定义域[-1,1],值域【-π/2,π/2】

4.10反三角函数公式:

余角关系

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负数关系

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倒数关系

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同角关系

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另外

$s i n (a r c s i n x) = x = c o s (a r c c o s x) = t a n (a r c t a n x) = c o t (a r c c o t x)$

当 $x \in 〔 — π / 2 ， π / 2 〕时，有 a r c s i n (s i n x) = x$

$x \in 〔 0, π 〕, a r c c o s (c o s x) = x$

$x \in (— π / 2 ， π / 2), a r c t a n (t a n x) = x$

$x \in (0 ， π), a r c c o t (c o t x) = x$

$x 〉 0, a r c t a n x = π / 2 - a r c t a n 1 / x, a r c c o t x 类似$

若 $(a r c t a n x + a r c t a n y) \in (— π / 2 ， π / 2),$

则 $a r c t a n x + a r c t a n y = a r c t a n (x + y / 1 - x y)$

结语：如有发现错误，敬请指摘！可能是不小心打错的，毕竟公式这么多（我真会给我自己找台阶下）

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