高数笔记泰勒展开及常用公式

泰勒公式

泰勒中值定理1：

如果函数f(x)在x0处有n阶导数，那么存在x0的一个邻域，对于该邻域内的任一x，有

(1-1)f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f″(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)

其中

(1-2)Rn(x)=o((x−x0)n)

公式（1-1）称为函数f(x)在x0处（或按(x−x0)的幂展开）的带有佩亚诺余项的n阶泰勒公式,Rn(x)的表达式（1-2）称为佩亚诺余项.

泰勒中值定理2：

如果函数f(x)在x0的某个邻域U(x0)内有（）（n+1）阶导数，那么对任一x∈U(x0),有

(2-1)f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f″(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)

其中

介于之间(2-2)Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1(ξ介于x,x0之间)

公式（2-1）称为函数f(x)在x0处（或按(x−x0)的幂展开）的带有拉格朗日余项的n阶泰勒公式,Rn(x)的表达式（2-2）称为拉格朗日余项.

当n=0时，公式（2-1）变为拉格朗日中值定理公式：

介于之间f(x)=f(x0)+f′(ξ)(x−x0)(ξ介于x,x0之间)

在公式(1-1)(2-1)中分别令x0=0,则可得

带有佩亚诺余项的麦克劳林公式：

(3-1)f(x)=f(0)+f′(0)x+f″(0)2!x2+⋯+f(n)(0)n!xn+o(xn)

带有拉格朗日余项的麦克劳林公式：

(3-2)f(x)=f(0)+f′(0)x+f″(0)2!x2+⋯+f(n)(0)n!xn+f(n+1)(θx)(n+1)!xn+1(0<θ<1)

由公式(3-1)(3-2)可得:

f(x)≈f(0)+f′(0)x+f″(0)2!x2+⋯+f(n)(0)n!xn

误差估计式为

|Rn(x)|≤M(n+1)!(x)n+1

常用的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式：

ex=1+x+x22!+x33!+o(x3)ln⁡(1+x)=x−x22+x33+o(x3)(1+x)α=1+αx+α(α−1)2!x2+α(α−1)(α−2)3!x3+o(x3)11−x=1+x+x2+x3+o(x3)11+x=1−x+x2−x3+o(x3)！sin⁡x=x−x33！+x55!+o(x5)arcsin⁡x=x+12×x33+1×32×4×x55+1×3×52×4×6×x77+o(x7)cos⁡x=1−x22!+x44!+o(x4)1+x=1+x2−x28+x316+o(x3)tan⁡x=x+x33+2x515+o(x5)arctan⁡x=x−x33+x55+o(x5)